SAGEの楕円点

Question

SAGEを使用して、合同部分群$ \ガンマ（N）$、$ \ガンマ1（N）$などの楕円点を探したいと思います。私はMAGMA（EllipticPoints（G））に単純な関数があることを知っていますが、SAGEで何か類似のものを見つけることはできません。助言がありますか？

Answer 1

セージは、モジュラーグループの合同サブグループを定義するために、関数Gamma、Gamma0、Gamma1を持っています。そのようなグループを考える

、方法nu2とnu3オーダー2の、このグループの順序3の 楕円点の数を与えます。

sage: G = Gamma0(13) 
sage: G.nu2() 
2 
sage: G.nu3() 
2 

方法ncusps、index、genusはカスプ、 インデックス、合同グループの属の数を与えます。 https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1554：

sage: G.ncusps() 
2 
sage: G.index() 
14 
sage: G.genus() 
0 

あなたが参照しているマグマのドキュメントには、このかもしれません。

この場合、 上半平面の実際の楕円点が必要です。ここにそれらを得る方法があります。

関数elliptic_pointsを次のように定義します。

def elliptic_points(G): 
    F = FareySymbol(G) 
    P = F.pairings() 
    if all(n > 0 for n in P): 
     return [] 
    M = F.pairing_matrices() 
    ell = [] 
    for k, n in enumerate(P): 
     if n < 0: 
      a, b, c, d = list(M[k]) 
      R.<x> = QQbar[] 
      p = c*x^2 + (d-a)*x - b 
      for r in p.roots(multiplicities=False): 
       if r.imag() > 0: 
        ell.append(r) 
    return ell 

その後、次の作品：

sage: G = Gamma0(13) 
sage: ell = elliptic_points(G) 

sage: ell 
[0.2692307692307693? + 0.06661733875264913?*I, 
0.3846153846153846? + 0.07692307692307692?*I, 
0.6153846153846154? + 0.07692307692307692?*I, 
0.7307692307692308? + 0.06661733875264913?*I] 

sage: for p in ell: 
....: print p.radical_expression() 
....: 
1/26*I*sqrt(3) + 7/26 
1/13*I + 5/13 
1/13*I + 8/13 
1/26*I*sqrt(3) + 19/26 

私は、既存のセージコードでこの関数を見つけることができませんでした。 追加する価値があります。