2つの超平面が交差する平面を見つけるにはどうすればよいですか？

Question

2つの平面が交差する線を見つける場合、2つの平面の法線の外積を取る必要があります。このクロス積は単に行列の行列式を取るだけです。（x、y、z）は各平面の法線ベクトルです。結果は、交線に平行なベクトルです。そこから、両方の面にある点を見つける必要があります。 2つの部分を組み合わせると、完全に定義された線が得られます。

これを平面上で交差する超平面にどのように拡張できますか？私は同様の行列の行列式を取る必要があると思うだろうが、私が考える行列は次のように考える：

h i j k 
w1 x1 y1 z1 
w2 x2 y2 z2 

正方行列ではありません。また、私は両方の超平面にある点を見つける方法を知らない。

誰も私に超平面の交差平面を見つける方法を説明することはできますか？

ありがとうございました！

Answer 1

単純な変数置換を実行するだけで行列式を計算する必要はなく、交差平面を取得できます。あなたは2つの超平面がある場合たとえば、：

3x + 4y + 2z - 7w = 10 
2x - 3y + 2z + 1w = 2 

をあなたはその後、w（または他の変数）を単離することができます

w = 2 - 2x + 3y - 2z 

そして、最初の方程式でそれを置き換える：

3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10 

結果は次のとおりです。

17x - 17y + 16z - 14 = 10 

これであなたの交差平面があります。ほんの簡単な数学。

完全な4D平面表現は、最初に、17x - 17y + 16z - 14 = 10を解決してから、w = 2 - 2x + 3y - 2zを使用wを計算(x, y, z)値を見つけ、両方の式に基づいています。

Answer 2

単純な変数の置き換えでの答えは正しくありません。 3x + 4y + 2z - 7（2 - 2x + 3y - 2z）= 10は、それ自体が4次元空間における3次元超平面であり、4次元空間における2つの与えられた3次元超平面の交点を表さない。方程式が1つ少ない変数を有するという事実は、オブジェクトの次元数を減少させない。

類推のために：y = 7は、y = x + 7と同じように、まだy = 7が2次元の1次元の線です。そして、z + y = 5は、x + y + z = 5のように、まだ3dの2次元平面です。

可変置換は3Dでは機能しませんが、アウトラインのクロス積を行い、4Dでは機能しません。これは、4Dの2Dオブジェクトを表現するのに2つの式を必要とします（2つの3D超平面の交差点は2Dオブジェクトです）。類推のために、2Dの点としてマップする単一の「方程式」を教えてください。 y = 5x + 2は直線、y = xは直線、x = 6は直線、y = 0は直線です。単純な方程式y = 1でさえ、我々が4Dであれば3D超平面である。変数を削除することは、2Dの0Dポイント、3Dの1Dライン、または4Dの2D交差2次元超平面の方程式を取得する方法ではありません。これらのすべては、それらを定義するために正確に2つの同時に真の方程式を必要とする。変数を置き換えることはできません。

Answer 3

ハイパープレーンに対応するマトリックスシステム（Ax = b）をセットアップして、ソリューションのランクを調べる必要があります。それが解決策を持っているかどうか、もしそうであればポイント/ライン/飛行機/その他であるかどうかがわかります。

私は質問があります：それは本当です「それらの間の交差点が平面になるようにR^4における3次元のhyperlanesがnあり、すべての正の整数nに対して、」