統合ルールの実装方法は？

Question

私は以下のアイデンティティをチェックしたとします。それをMathematicaに実装する方法は？あなたはおそらく組み込み関数にルールを追加伴うだろう要求し何をすべきか

(* {\[Alpha] \[Element] Reals, \[Beta] \[Element] Reals, \[Mu] \[Element] Reals, \[Sigma] > 0} *) 

Integrate[CDF[NormalDistribution[0, 1], \[Alpha] + \[Beta] x] PDF[ 
NormalDistribution[\[Mu], \[Sigma]], 
x], {x, -\[Infinity], \[Infinity]}] -> CDF[NormalDistribution[0, 1], (\[Alpha] + 
\[Beta] \[Mu])/Sqrt[1 + \[Beta]^2 \[Sigma]^2]] 

Answer 1

ほとんどの方法は、（Integrate、CDF、PDF、などなど）、良い選択肢ではない可能性があります。ここでは少し柔らかめの方法はBlockトリックを使用して、ある - ベースのマクロ：

In[27]:= 
withIntegrationRule[a=Integrate[CDF[NormalDistribution[0,1],\[Alpha]+\[Beta] x] 
    PDF[NormalDistribution[\[Mu],\[Sigma]],x],{x,-\[Infinity],\[Infinity]}]]; 
a 

Out[28]= 1/2 Erfc[-((\[Alpha]+\[Beta] \[Mu])/(Sqrt[2] Sqrt[1+\[Beta]^2 \[Sigma]^2]))] 

私たちのルールが一致しない場合、それはまだ動作します、自動的に：ここで

ClearAll[withIntegrationRule]; 
SetAttributes[withIntegrationRule, HoldAll]; 
withIntegrationRule[code_] := 
    Block[{CDF, PDF, Integrate, NormalDistribution}, 
     Integrate[ 
     CDF[NormalDistribution[0, 1], \[Alpha]_ + \[Beta]_ x_] PDF[ 
      NormalDistribution[\[Mu]_, \[Sigma]_], x_], {x_, -\[Infinity], \[Infinity]}] := 
       CDF[NormalDistribution[0, 1], (\[Alpha] + \[Beta] \[Mu])/ 
        Sqrt[1 + \[Beta]^2 \[Sigma]^2]]; 
     code]; 

は、我々はそれを使用する方法であります通常の評価ルートへの切り替え：

私は閉じた形での統合を可能にするための前提条件で 0に \[Alpha]を設定

In[36]:= 
    Block[{$Assumptions = \[Alpha]>0&&\[Beta]==0&&\[Mu]>0&&\[Sigma]>0}, 
    withIntegrationRule[b=Integrate[CDF[NormalDistribution[0,1],\[Alpha]+\[Beta] x] 
     PDF[NormalDistribution[\[Mu],\[Sigma]],x],{x,0,\[Infinity]}]]] 

Out[36]= 1/4 (1+Erf[\[Alpha]/Sqrt[2]]) (1+Erf[\[Mu]/(Sqrt[2] \[Sigma])]) 

。

また、独自の専用インテグレータを実装することもできます。