双線形＆二次形式の評価をベクトル化する方法は？

Question

は実係数の任意N X N行列を考えると、我々は、双一次形式B_{を定義することができ}：R^N X R^N＆＃x2192;

B（X、Y）= X^TAyの、

と二次形式QでR：R^N＆＃x2192。 RQ（X）= B（X、X）= X^T

によってアックス。

（二次形式の最も一般的な用途のためQ 、マトリックスは、対称、又は正定も対称である、そうであれば、これらのいずれかが事実であると仮定して自由に感じますそれはあなたの答えのために重要。）

も

（、FWIW、B _IとQ _I（I）はN X N恒等行列であり、それぞれ、標準内積であり、R ^N、即ち上L ノルムの二乗X^TYとX^T X。）

は今、2つのN X メートル行列、XとY、及びがあるとnxnマトリックス。私は、Bの両方の計算を最適化したい（X _、I、Y _、I）とQ（X _、I）（x、iおよびy _、i）は、それぞれXとYのI列目を示し、Iは、少なくともnumpyの、R、またはMatlabのようないくつかの環境では、これはベクトルのいくつかのフォームを含むであろう、と推測します。寸法MN X メートル、MN X メートルと私が考えることができる唯一の解決策は、対角ブロック行列を生成する必要

[X]、[Y]及び[]、それぞれMN X MN、および（ブロック）対角要素X _と、I、y _、、およびAである。次いで、所望の計算は、行列乗算[X] ^T [A] [Y]および[X] ^T [] [X]であろう。この戦略は、まったく間違いありませんが、時間と空間の両面で効率的な方法があれば、私はそれを見ていきたいと思います。 （これらのブロック行列のまばらさを利用していないその実装は運命づけられないことは言うまでもない）

もっと良いアプローチがありますか？

これを行う私の好みはnumpyですが、RやMatlabのような効率的な行列計算をサポートする他のシステムの回答もOKです（私はそれらをnumpy）。

ありがとうございます！製品X ^{T所望B（X _、I、Yを計算するであろう} AYとX ^T AXを計算もちろん

_{、 、i}）およびq（X _、I）無関係O（メートル ）と一緒に、（得メートル X メートル行列の対角要素として）B（X _、I、Y _、J）とB（X _、I、X _、J）、（I＆＃x2260のために、 j）、これは非スターターです。

Answer 1

ここにあなたが探しているものをあなたに与える必要numpyの中ソリューションです：

((np.matrix(X).T*np.matrix(A)).A * Y.T.A).sum(1) 

これはX ^T * Aのための行列乗算は、その後、乗算する要素ごとの配列の乗算を行いんY ^T。結果の配列の行は、1-D配列を生成するために合計されます。

Answer 2

それはあなたが達成しようとしているものを完全には明らかではないが、Rで、あなたはクロス製品を形成するためにcrossprodを使用します。与えられた行列Xと互換性のある寸法のY、crossprod(X, Y)戻っX ^T Y.同様に、行列乗算は%*%演算子で行われます。X %*% Yは積XYを返します。したがって、X ^T AYをcrossprod(X, A %*% Y)として得ることができます。行列の乗算やループなどの仕組みを心配する必要はありません。

行列が、計算（対称、三角、疎、バンドなど）を最適化できる特定の構造を持っている場合、これをサポートするMatrixパッケージを見ることができます。

私はMatlabを使用していませんが、これらの操作には同様の機能があると確信しています。

Answer 3

あなたはMATLABでそれをしたい場合は、それは本当に簡単です：

あなたはちょうど私がそれは努力の価値があるだろうかどうかを疑うが、あなたは物事をスピードアップしたい場合は

b = x'*A*y; 
q = x'*A*x; 

を入力することができます

M = x'*A; 
b = M*y; 
q = M*x;