SARIMAXモデルの数値計算方法R

Question

私の友人は、現在、最尤推定（MLE）法を用いた時系列モデルSARIMAX（季節ARIMA外因性）のパラメータの推定に関する課題に取り組んでいます。彼が使用したデータは、外生変数としてインド洋ダイポール（IOD）指数を用いた2000〜2012年の毎月の降水量です。ここで がデータである。これを行うには

MONTH YEAR RAINFALL  IOD 
1  1 2000 15.3720526 0.0624 
2  2 2000 10.3440804 0.1784 
3  3 2000 14.6116392 0.3135 
4  4 2000 18.6842179 0.3495 
5  5 2000 15.2937896 0.3374 
6  6 2000 15.0233152 0.1946 
7  7 2000 11.1803399 0.3948 
8  8 2000 11.0589330 0.4391 
9  9 2000 10.1488916 0.3020 
10  10 2000 21.1187121 0.2373 
11  11 2000 15.3980518 -0.0324 
12  12 2000 18.9393770 -0.0148 
13  1 2001 19.1075901 -0.2448 
14  2 2001 14.9097284 0.1673 
15  3 2001 19.2379833 0.1538 
16  4 2001 19.6900990 0.3387 
17  5 2001 8.0684571 0.3578 
18  6 2001 14.0463518 0.3394 
19  7 2001 5.9916609 0.1754 
20  8 2001 8.4439327 0.0048 
21  9 2001 11.8321596 0.1648 
22  10 2001 24.3700636 -0.0653 
23  11 2001 22.3584436 0.0291 
24  12 2001 23.6114379 0.1731 
25  1 2002 17.8409641 0.0404 
26  2 2002 14.7377067 0.0914 
27  3 2002 21.2226294 0.1766 
28  4 2002 16.6403125 -0.1512 
29  5 2002 10.8074049 -0.1072 
30  6 2002 6.3796552 0.0244 
31  7 2002 17.0704423 0.0542 
32  8 2002 1.7606817 0.0898 
33  9 2002 5.3665631 0.6736 
34  10 2002 8.3246622 0.7780 
35  11 2002 17.8044938 0.3616 
36  12 2002 16.7062862 0.0673 
37  1 2003 13.5572859 -0.0628 
38  2 2003 17.1113997 0.2038 
39  3 2003 14.9899967 0.1239 
40  4 2003 14.0996454 0.0997 
41  5 2003 11.4017542 0.0581 
42  6 2003 6.7749539 0.3490 
43  7 2003 7.1484264 0.4410 
44  8 2003 10.3004854 0.4063 
45  9 2003 10.6630202 0.3289 
46  10 2003 20.6518764 0.1394 
47  11 2003 20.8638443 0.1077 
48  12 2003 20.5548048 0.4093 
49  1 2004 16.0436903 0.2257 
50  2 2004 17.2568827 0.2978 
51  3 2004 20.2361063 0.2523 
52  4 2004 11.6619038 0.1212 
53  5 2004 12.8296532 -0.3395 
54  6 2004 8.4202138 -0.1764 
55  7 2004 15.5916644 0.0118 
56  8 2004 0.9486833 0.1651 
57  9 2004 7.2732386 0.2825 
58  10 2004 18.0083314 0.3747 
59  11 2004 14.4672043 0.1074 
60  12 2004 17.3637554 0.0926 
61  1 2005 18.9420168 0.0551 
62  2 2005 17.0146995 -0.3716 
63  3 2005 23.3002146 -0.2641 
64  4 2005 17.8689675 0.2829 
65  5 2005 17.2365890 0.1883 
66  6 2005 14.0178458 0.0347 
67  7 2005 12.6925175 -0.0680 
68  8 2005 9.3861600 -0.0420 
69  9 2005 11.7132404 -0.1425 
70  10 2005 18.5768673 -0.0514 
71  11 2005 19.6723156 -0.0008 
72  12 2005 18.3248465 -0.0659 
73  1 2006 18.6252517 0.0560 
74  2 2006 18.7002674 -0.1151 
75  3 2006 23.4882950 -0.0562 
76  4 2006 19.5652754 0.1862 
77  5 2006 13.6857590 0.0105 
78  6 2006 11.1265448 0.1504 
79  7 2006 11.0227038 0.3490 
80  8 2006 7.6550637 0.5267 
81  9 2006 1.8708287 0.8089 
82  10 2006 5.4129474 0.9479 
83  11 2006 15.2249795 0.7625 
84  12 2006 14.1703917 0.3941 
85  1 2007 22.8691932 0.4027 
86  2 2007 14.3317829 0.3353 
87  3 2007 13.0766968 0.2792 
88  4 2007 23.2335964 0.2960 
89  5 2007 12.2474487 0.4899 
90  6 2007 11.3357840 0.2445 
91  7 2007 9.3112835 0.3629 
92  8 2007 1.6431677 0.5396 
93  9 2007 6.8483575 0.6252 
94  10 2007 13.1529464 0.4540 
95  11 2007 14.5120639 0.2489 
96  12 2007 18.7909553 0.0054 
97  1 2008 17.6493626 0.3037 
98  2 2008 13.3828248 0.1166 
99  3 2008 19.0525589 0.2730 
100  4 2008 17.3262806 0.0467 
101  5 2008 5.2345009 0.4020 
102  6 2008 3.3166248 0.4263 
103  7 2008 10.1094016 0.5558 
104  8 2008 11.7260394 0.4236 
105  9 2008 10.7470926 0.4762 
106 10 2008 15.1591557 0.4127 
107 11 2008 25.5558213 0.1474 
108 12 2008 18.2455474 0.1755 
109  1 2009 14.5430396 0.2185 
110  2 2009 12.8569048 0.3521 
111  3 2009 24.0707291 0.2680 
112  4 2009 16.0374562 0.3234 
113  5 2009 7.2387844 0.4757 
114  6 2009 13.8021737 0.3078 
115  7 2009 7.5232972 0.1179 
116  8 2009 6.3403470 0.1999 
117  9 2009 4.6583259 0.2814 
118 10 2009 13.0958008 0.3646 
119 11 2009 15.3329710 0.1914 
120 12 2009 19.0394328 0.3836 
121  1 2010 15.5080624 0.4732 
122  2 2010 17.1551742 0.2134 
123  3 2010 23.9729014 0.6320 
124  4 2010 18.2537667 0.5644 
125  5 2010 18.2236111 0.1881 
126  6 2010 14.6082169 0.0680 
127  7 2010 13.6161669 0.3111 
128  8 2010 11.1220502 0.2472 
129  9 2010 20.7870152 0.1259 
130 10 2010 19.5371441 -0.0529 
131 11 2010 24.8837296 -0.2133 
132 12 2010 15.5016128 0.0233 
133  1 2011 17.3435867 0.3739 
134  2 2011 17.6096564 0.4228 
135  3 2011 19.0682983 0.5413 
136  4 2011 20.4890214 0.3569 
137  5 2011 12.0540450 0.1313 
138  6 2011 12.5896783 0.2642 
139  7 2011 5.0990195 0.5356 
140  8 2011 6.5726707 0.6490 
141  9 2011 2.5099801 0.5884 
142 10 2011 17.6380271 0.7376 
143 11 2011 17.5128524 0.6004 
144 12 2011 17.2655727 0.0990 
145  1 2012 16.6883193 0.2272 
146  2 2012 20.8374663 0.1049 
147  3 2012 16.7002994 0.1991 
148  4 2012 18.7962762 -0.0596 
149  5 2012 16.9292646 -0.1165 
150  6 2012 11.6490343 0.2207 
151  7 2012 6.2529993 0.8586 
152  8 2012 5.8991525 0.9473 
153  9 2012 7.8485667 0.8419 
154 10 2012 12.5817328 0.4928 
155 11 2012 24.7770055 0.1684 
156 12 2012 23.2486559 0.4899 

それはSARIMAXモデルを分析するためのパッケージを持っているので、彼はRで動作します。そして今まで、彼は季節ARIMAオーダー（1,0,1）のTSAパッケージのarimax()機能でそれをうまく行っています。

だからここに私は彼の構文を添付：

以下

#Importing data 
data=read.csv("C:/DATA.csv", header=TRUE) 
rainfall=data$RAINFALL 
exo=data$IOD 

#Creating the suitable model of data that is able to be read by R with ts() function 
library(forecast) 
rainfall_ts=ts(rainfall, start=c(2000, 1), end=c(2012, 12), frequency = 12) 
exo_ts=ts(exo, start=c(2000, 1), end=c(2012, 12), frequency = 12) 

#Fitting SARIMAX model with seasonal ARIMA order (1,0,1) & estimation method is MLE (or ML) 
library(TSA) 
model_ts=arimax(log(rainfall_ts), order=c(1,0,1), seasonal=list(order=c(1,0,1), period=12), xreg=exo_ts, method='ML') 

は結果である：

> model_ts 

Call: 
arimax(x = log(rainfall_ts), order = c(1, 0, 1), seasonal = list(order = c(1, 
    0, 1), period = 12), xreg = exo_ts, method = "ML") 

Coefficients: 
     ar1  ma1 sar1  sma1 intercept  xreg 
     0.5730 -0.4342 0.9996 -0.9764  2.6757 -0.4894 
s.e. 0.2348 0.2545 0.0018 0.0508  0.1334 0.1489 

sigma^2 estimated as 0.1521: log likelihood = -86.49, aic = 184.99 

彼は構文を主張しますが作業していて、彼の講師は、より多くを期待されています。 理論的には、MLEを使用していたため、対数尤度関数の一次導関数が暗黙の解を与えることが証明されています。つまり、推定プロセスはMLEで解析的に行うことができないため、数値計算を続けるためには が必要です。

これは私の友人の講師の期待です。彼は、推定が数値的に行われることが本当に必要であることを少なくとも彼に納得させることができると彼は期待していた。もしそうなら、彼はRに使われている方法（Newton-Raphson、BFGS 、BHHHなど）。

しかし、ここのものは、推定は数値的に以下のように実行する必要がある場合arimax()機能を選択する数値法で私たちに選択肢を与えるものではありませんです。

model_ts=arimax(log(rainfall_ts), order=c(1,0,1), seasonal=list(order=c(1,0,1), period=12), xreg=exo_ts, method='ML') 

'method'は、上記の推定方法のためであります利用可能な方法はML, CSS,とCSS-MLです。上記のsintaxは数値的な方法ではなく、これが問題であることは明らかです。

Rによってどのような数値的方法が使用されているかを知る方法はありますか？または、私の友人はちょうどarimax()機能に依存せずに自分のプログラムを構築しなければなりませんか？

私のコードに誤りがある場合は、私に知らせてください。文法や語彙ミスについてもお詫び申し上げます。英語は母国語ではありません。

Answer 1

ヒント：

1. 推定方法のそれぞれとモデル：ML、CSS、CSS-ML。パラメータの見積もりは一致していますか？

2. コンソールでarimax、View(arimax)またはgetAnywhere(arimax)を入力してarimax()機能のソースコードを表示することができます。

3. また、model_ts=arimax(...)行の前にデバッグ箇条書きを配置してから、デバッグを行うこともできますし、ソースをdebugSource()にすることもできます。arimax関数に入り、どの最適化方法arimaxが使用するかを確認/確認することができます。