間違った結果を与える線形ODEの解を計算する簡単なスクリプト

Question

これはプログラミングと数学の両方を含む質問です。だから、で記述された線形ODEのシステムの一般的な解を計算するコードを書くことを試みています。数式は、それは、上に示しています：方程式にappersギリシャのシンボルの\ PHIは問題がODEのソリューションの私のプロットは、それはあなたのように、よく見ていないということですexpm(A*t)

clear all 

A=[-2]; %system matrix 

t0=1; %initial time of simulation 

tf=2; %final time of simulation 

syms t x_0 

x0=x_0; 

hom=expm(A*t); %hom means "homogeneous solution" 

hom_initialcond=hom*x0;%this is the homogeneous solution multiplied by the initial conditon 

invhom=inv(hom); %this is the inverse of the greek letter at which, multiplied by the input of the system, composes the integrand of the integral 

g=5*cos(2*t); %system input 

integrand=invhom*g; %computation of the integrand 

integral=int(integrand,t0,t); %computation of the definite integral from t0 to t, as shown by the math formula 

partsol=hom*integral; %this is the particular solution 

gen_sol=partsol+hom_initialcond %this is the general solution 

x_0=1; %this is the initial condition 

t=linspace(t0,tf); %vector of time from t0 to tf 

y=double(subs(gen_sol)); %here I am evaluating my symbolic expression 

plot(t,y) 

ある

グラフに示された曲線が初期値で始まらないので、解決策は1です。しかし、形状は、それはプロットはMATLABのODEソルバによって与えたから非常に似ています：

をしかし、私はその後、t0=0設定した場合、プロットは私のコードで与え、MATLABでソルバーそれはお互いにexacly等しいです。だから、私のコードそれはt0=0のための罰金ですが、他の値と私のコードは間違って行く。

Answer 1

基本行列の点で一般的な解決策は、しばしば

として見

以上であるが、最初の時間は、多くの場合ゼロであると解釈されるので、逆は、ゼロでの線形定数係数問題（すなわち、expm(zeros(n)) == eye(n)）のための同一性であり、cベクトルはtと等価であるため、省略されることが多い彼は初期状態ベクトルです。この

syms t x_0 c_0 
hom    = expm(A*t)    ; 
invhom   = inv(hom)     ; 
invhom_0  = subs(invhom,t,sym(t0)) ; 
c_0    = invhom_0 * x_0   ; 
hom_initialcond = hom * c_0    ; 

にあなたのシンボリック宣言近くの周りの線の一部を交換

は非ゼロ初期時の正しいソリューションを提供する必要があります。