紙は単純多項式に適しているしっかり有界ヘルパー機能にスケーリング相補誤差関数をマップする巧妙な変換を提案しています近似。私はパフォーマンスのために変形のバリエーションを試しましたが、これらのすべてが精度に悪影響を及ぼしました。変換（x-K）/（x + K）における定数Kの選択は、コア近似の精度との明白な関係を有する。私は経験的に "最適な"値を決めました。これは紙とは異なります。
コア近似の引数と中間結果の変換結果をerfcxに戻すと、追加の丸め誤差が発生します。精度への影響を軽減するために、補償手順を適用する必要があります。これについては先にquestion & answer regarding erfcfで詳しく説明しています。FMAの可用性は、この作業を大幅に簡素化します。
/*
* Based on: M. M. Shepherd and J. G. Laframboise, "Chebyshev Approximation of
* (1+2x)exp(x^2)erfc x in 0 <= x < INF", Mathematics of Computation, Vol. 36,
* No. 153, January 1981, pp. 249-253.
*
*/
float my_erfcxf (float x)
{
float a, d, e, m, p, q, r, s, t;
a = fmaxf (x, 0.0f - x); // NaN-preserving absolute value computation
/* Compute q = (a-2)/(a+2) accurately. [0,INF) -> [-1,1] */
m = a - 2.0f;
p = a + 2.0f;
#if FAST_RCP_SSE
r = fast_recipf_sse (p);
#else
r = 1.0f/p;
#endif
q = m * r;
t = fmaf (q + 1.0f, -2.0f, a);
e = fmaf (q, -a, t);
q = fmaf (r, e, q);
/* Approximate (1+2*a)*exp(a*a)*erfc(a) as p(q)+1 for q in [-1,1] */
p = 0x1.f10000p-15f; // 5.92470169e-5
p = fmaf (p, q, 0x1.521cc6p-13f); // 1.61224554e-4
p = fmaf (p, q, -0x1.6b4ffep-12f); // -3.46481771e-4
p = fmaf (p, q, -0x1.6e2a7cp-10f); // -1.39681227e-3
p = fmaf (p, q, 0x1.3c1d7ep-10f); // 1.20588380e-3
p = fmaf (p, q, 0x1.1cc236p-07f); // 8.69014394e-3
p = fmaf (p, q, -0x1.069940p-07f); // -8.01387429e-3
p = fmaf (p, q, -0x1.bc1b6cp-05f); // -5.42122945e-2
p = fmaf (p, q, 0x1.4ff8acp-03f); // 1.64048523e-1
p = fmaf (p, q, -0x1.54081ap-03f); // -1.66031078e-1
p = fmaf (p, q, -0x1.7bf5cep-04f); // -9.27637145e-2
p = fmaf (p, q, 0x1.1ba03ap-02f); // 2.76978403e-1
/* Divide (1+p) by (1+2*a) ==> exp(a*a)*erfc(a) */
d = a + 0.5f;
#if FAST_RCP_SSE
r = fast_recipf_sse (d);
#else
r = 1.0f/d;
#endif
r = r * 0.5f;
q = fmaf (p, r, r); // q = (p+1)/(1+2*a)
t = q + q;
e = (p - q) + fmaf (t, -a, 1.0f); // residual: (p+1)-q*(1+2*a)
r = fmaf (e, r, q);
if (a > 0x1.fffffep127f) r = 0.0f; // 3.40282347e+38 // handle INF argument
/* Handle negative arguments: erfcx(x) = 2*exp(x*x) - erfcx(|x|) */
if (x < 0.0f) {
s = x * x;
d = fmaf (x, x, -s);
e = expf (s);
r = e - r;
r = fmaf (e, d + d, r);
r = r + e;
if (e > 0x1.fffffep127f) r = e; // 3.40282347e+38 // avoid creating NaN
}
return r;
}
負の半平面内のこの実装の最大誤差がexpf()の標準数学ライブラリの実装の正確さに依存するであろう次のよう
得単精度コードが見えます。インテルコンパイラ、バージョン13.1.3.198を使用し、/fp:strictでコンパイルすると、網羅的なテストで正のハーフプレーンで2.00450 ulps、負のハーフプレーンで2.38412 ulpsの最大誤差が観測されました。私が今話すことができる最高のexpf()の忠実な丸め実装は、2.5 ulps未満の最大誤差をもたらします。
コードには2つの部門がありますが、これは潜在的に低速な操作ですが、特殊な逆数形式で行われるため、多くのプラットフォームで高速逆数近似を使用することができます。逆数近似が忠実に丸められている限り、実験に基づいてerfcxf()の精度への影響はごくわずかです。高速SSEバージョン（最大エラー< 2.0 ulps）などのわずかに大きなエラーでさえ、軽微な影響しかないようです。
/* Fast reciprocal approximation. HW approximation plus Newton iteration */
float fast_recipf_sse (float a)
{
__m128 t;
float e, r;
t = _mm_set_ss (a);
t = _mm_rcp_ss (t);
_mm_store_ss (&r, t);
e = fmaf (0.0f - a, r, 1.0f);
r = fmaf (e, r, r);
return r;
}
倍精度バージョンerfcx()は単精度バージョンerfcxf()と構造的に同一であるが、より多くの用語とミニマックス多項式近似を必要とします。これは、コアの近似を最適化するときに、探索空間が非常に大きいときに多くのヒューリスティックが分解されるので、課題を提示する。以下の係数はこれまでの私の最良の解決策であり、改善の余地があります。インテルコンパイラおよび/fp:strictを用いて構築し、2つのランダムテストベクトルを用いて、観察された最大誤差は、正のハーフ平面で2.83788 ulpsであり、負のハーフプレーンで2.77856 ulpsであった。
double my_erfcx (double x)
{
double a, d, e, m, p, q, r, s, t;
a = fmax (x, 0.0 - x); // NaN preserving absolute value computation
/* Compute q = (a-4)/(a+4) accurately. [0,INF) -> [-1,1] */
m = a - 4.0;
p = a + 4.0;
r = 1.0/p;
q = m * r;
t = fma (q + 1.0, -4.0, a);
e = fma (q, -a, t);
q = fma (r, e, q);
/* Approximate (1+2*a)*exp(a*a)*erfc(a) as p(q)+1 for q in [-1,1] */
p = 0x1.edcad78fc8044p-31; // 8.9820305531190140e-10
p = fma (p, q, 0x1.b1548f14735d1p-30); // 1.5764464777959401e-09
p = fma (p, q, -0x1.a1ad2e6c4a7a8p-27); // -1.2155985739342269e-08
p = fma (p, q, -0x1.1985b48f08574p-26); // -1.6386753783877791e-08
p = fma (p, q, 0x1.c6a8093ac4f83p-24); // 1.0585794011876720e-07
p = fma (p, q, 0x1.31c2b2b44b731p-24); // 7.1190423171700940e-08
p = fma (p, q, -0x1.b87373facb29fp-21); // -8.2040389712752056e-07
p = fma (p, q, 0x1.3fef1358803b7p-22); // 2.9796165315625938e-07
p = fma (p, q, 0x1.7eec072bb0be3p-18); // 5.7059822144459833e-06
p = fma (p, q, -0x1.78a680a741c4ap-17); // -1.1225056665965572e-05
p = fma (p, q, -0x1.9951f39295cf4p-16); // -2.4397380523258482e-05
p = fma (p, q, 0x1.3be1255ce180bp-13); // 1.5062307184282616e-04
p = fma (p, q, -0x1.a1df71176b791p-13); // -1.9925728768782324e-04
p = fma (p, q, -0x1.8d4aaa0099bc8p-11); // -7.5777369791018515e-04
p = fma (p, q, 0x1.49c673066c831p-8); // 5.0319701025945277e-03
p = fma (p, q, -0x1.0962386ea02b7p-6); // -1.6197733983519948e-02
p = fma (p, q, 0x1.3079edf465cc3p-5); // 3.7167515521269866e-02
p = fma (p, q, -0x1.0fb06dfedc4ccp-4); // -6.6330365820039094e-02
p = fma (p, q, 0x1.7fee004e266dfp-4); // 9.3732834999538536e-02
p = fma (p, q, -0x1.9ddb23c3e14d2p-4); // -1.0103906603588378e-01
p = fma (p, q, 0x1.16ecefcfa4865p-4); // 6.8097054254651804e-02
p = fma (p, q, 0x1.f7f5df66fc349p-7); // 1.5379652102610957e-02
p = fma (p, q, -0x1.1df1ad154a27fp-3); // -1.3962111684056208e-01
p = fma (p, q, 0x1.dd2c8b74febf6p-3); // 2.3299511862555250e-01
/* Divide (1+p) by (1+2*a) ==> exp(a*a)*erfc(a) */
d = a + 0.5;
r = 1.0/d;
r = r * 0.5;
q = fma (p, r, r); // q = (p+1)/(1+2*a)
t = q + q;
e = (p - q) + fma (t, -a, 1.0); // residual: (p+1)-q*(1+2*a)
r = fma (e, r, q);
/* Handle argument of infinity */
if (a > 0x1.fffffffffffffp1023) r = 0.0;
/* Handle negative arguments: erfcx(x) = 2*exp(x*x) - erfcx(|x|) */
if (x < 0.0) {
s = x * x;
d = fma (x, x, -s);
e = exp (s);
r = e - r;
r = fma (e, d + d, r);
r = r + e;
if (e > 0x1.fffffffffffffp1023) r = e; // avoid creating NaN
}
return r;
}