ode45 Matlabを使って遅延微分方程式を解く

Question

Matlabでode45を使ってDDEを解こうとしています。私の質問は、私がこの方程式を解く方法についてです。私が正しいかどうかわからない、あるいは間違っているので、代わりにdde23を使うべきです。

xdot(t)=Ax+BU(t-td)+E(t) & U(t-td)=Kx(t-td) & K=constant 

通常、私は私の式に遅れを持っていないとき、私はode45を使用してこの問題を解決： は、私は次の式を持っています。今度は私の方程式を遅らせて、再び結果を得るためにode45を使っています。私は各ステップでU（t-td）の正確な量を持っており、その量を置き換えて方程式を解く。

私の解決策は正しいですか、それともdde23を使うべきですか？

Answer 1

あなたがここに二つの問題があります。

1. ode45は、適応ステップサイズでソルバーです。これは、サンプリングステップが実際の統合ステップと必ずしも同等ではないことを意味します。その代わりに、インテグレータはサンプリングステップを必要な精度でいくつかの積分ステップに分割します（詳細については、Scientific Computingのthis questionを参照）。 したがって、たとえそうであっても、統合の各ステップで正確な遅延値Uを提供できない場合があります。

   ただし、サンプリングのステップが十分に小さい場合、実際にサンプリングステップごとに1つのタイムステップがあります。この理由は、必要以上に時間ステップを小さくして（したがって、計算時間を無駄にする）、適応型統合を効果的に無効にするためです。

2. ode45のような高次Runge-Kutta法は、各積分ステップで導関数の値を利用するだけでなく、その間で評価します（また、いいえ、その間の時間ステップ）。

   たとえば、遅延と積分のステップがtd = 16であるとします。積分ステップをt = 32からt = 48にするには、t = 32-16 = 16およびt = 48-16 = 32だけでなくt = 40-16 = 24でもUを評価する必要があります。次のように言うかもしれません：さて、すべての時点で統合ステップを持つように統合してみましょう。しかし、これらの統合ステップでは、t = 16からt = 24に統合する場合は、t = 0、t = 4、およびt = 8でUを評価する必要があります。より小さい時間ステップの絶え間ないカスケードが得られます。原因問題2へ

、一段の積分器が、任意で、過去からの正確な状態を提供することは不可能である - 使用して、あなたのケースではおそらく良いアイデアではありません。このため、DDEを複数ステップ積分器に統合する場合は、過去の値を取得するために何らかの補間を使用することが不可欠です。 dde23は、これを高度な方法で良好な補間を使用して行います。

インテグレーションステップでUを提供する場合は、基本的にpiecewise-constant interpolationを実行しています。これは最悪の補間方法であり、非常に小さな積分ステップを使用する必要があります。あなたが本当にしたい場合にこれを行うことができますが、より洗練された区分的立方晶エルミート補間を用いたdde23は、はるかに大きな時間ステップで動作し、適応的に統合することができるため、はるかに高速になります。また、何らかの形で間違いを起こす可能性は低いです。最後に、dde23は、あなたがそのようなことをしている場合、非常に小さな遅延（統合ステップよりも小さい）を処理できます。