mathematicaを使って固有値を計算する問題

Question

基本的に私は行列の固有値を見つけようとしていますが、それには約12時間かかります。それが終わると、それはすべての固有ベクトル（実際にはほんの少し）を見つけることができなかったと言います、そして、私はそれが見つけたものに懐疑的です。私が本当にやることができるのは自分のコードを投稿することだけです。誰かが私にいくつかの提案をすることができたらいいと思っています。私はmathematicaにはあまり経験がなく、おそらく実行時間が遅く、悪い結果はmathematicaの能力ではなく私と関係しています。返信した人のおかげで、本当に感謝しています。

cutoff = 500; (* set a cutoff for the infinite series *) 
numStates = cutoff + 1; (* set the number of excited states to be printed *) 
If[numStates > 10, numStates = 10]; 

    $RecursionLimit = cutoff + 256; (* Increase the recursion limit to allow for the specified cutoff *) 
(* set the mass of the constituent quarks *) 
m1 := mS; (* just supposed to be a constant *) 
m2 := 0; 

(* construct the hamiltonian *) 
h0[n_,m_] := 4 Min[n,m] * ((-1)^(n+m) * m1^2 + m2^2); 

v[0,m_] := 0; 
v[n_,0] := 0; 
v[n_,1] := (8/n) * ((1 + (-1)^(n + 1))/2); 
v[n_,m_] := v[n - 1, m - 1] * (m/(m - 1)) + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2); 

h[n_,m_] := h0[n,m] + v[n,m]; 

(* construct the matrix from the hamiltonian *) 
mat = Table[h[n,m], {n, 0, cutoff}, {m, 0, cutoff}] // FullSimplify; 

(* find the eigenvalues and eigenvectors, then reverse the order *) 
PrintTemporary["Finding the eigenvalues"]; 
{vals, vecs} = Eigensystem[N[mat]] // FullSimplify; 

$RecursionLimit = 256; (* Put the recursion limit back to the default *) 

私のコードはもう少しですが、これは本当に減速しています。私が間違いなく言及しなければならないのは、m1とm2の両方をゼロに設定しても問題はありませんが、m1を定数に設定するとすべてが地獄になります。

Answer 1

あなたの問題は、定数mSが記号のままであることです。これは、Mathematicaが数値ではなく固有値を解析的に解くことを試みていることを意味する。問題でmSの数値を選択できる場合は、そうする必要があります。

あなたが持っている他、関係のない、問題はn与えられたために、以下の行では、例えば、

v[n_, m_] := v[n, m] = v[n - 1, m - 1]*(m/(m - 1)) 
        + (8 m/(n + m - 1))*((1 + (-1)^(n + m))/2); 

余分v[n, m] =店舗値をメモ化を使用すると、再帰的な式を使用していて、使用したいということですmとなりますので、がTable[]で呼び出されるたびにv[0,0]まで再発する必要はありません。

私の古いコア2デュオの世話をする2つのものは、固有値を行うのに1分もかかりません。

Answer 2

これはTimoの回答のフォローアップです。私は図を表示したいので、コメントの代わりに答えとして配置します。

501×501の記号要素を持つ行列の固有値を求めたいとします。 [あなたはそれらを定数と呼んでいますが、それは誤解です。定数はちょうど定義されていて、名前を持つ固定値です。ティモの解答であなたのコメントに記述しているのは記号変数です。]

固有値計算では完全に象徴的な行列が何をするのかよく分かります。これは、2×2行列の場合です。

Array[f, {2, 2}] // Eigenvalues 

(* ==> 
{1/2 (f[1, 1]+f[2, 2]-Sqrt[f[1, 1]^2+4f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2]), 
1/2(f[1, 1]+f[2, 2]+Sqrt[f[1, 1]^2+4 f[1, 2] f[2, 1]-2 f[1, 1] f[2, 2]+f[2, 2]^2])} 
*) 

これはArray[f, {2, 2}] // Eigenvalues//ByteCount = 3384バイトです。これはかなり速く爆発する：7x7のソリューションは既に70 MBを要する（これを見つけるのに数分かかる）。

フィット関数である：バイト数= E ^（2.2403067075863197 + 2.2617380321848457 X行列のサイズ）実際には、マトリックスのサイズとバイト数の間に見出されるべき素敵な関係があります。

ご覧のとおり、501×501の象徴行列の固有値は、宇宙の終わりまでには見つかりません。

は[BTW行列の所有格形は何ですか？]