numpyのeighとsvdで計算された固有ベクトルは一致しません

Question

特異値分解M = USV *を考慮してください。そして、M * Mの固有値分解は、M * M = V（S * S）V * = VS * U * USV *を与える。

import numpy as np 
np.random.seed(42) 
# create mean centered data 
A=np.random.randn(50,20) 
M= A-np.array(A.mean(0),ndmin=2) 

# svd 
U1,S1,V1=np.linalg.svd(M) 
S1=np.square(S1) 
V1=V1.T 

# eig 
S2,V2=np.linalg.eigh(np.dot(M.T,M)) 
indx=np.argsort(S2)[::-1] 
S2=S2[indx] 
V2=V2[:,indx] 

# both Vs are in orthonormal form 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=1), np.ones(V1.shape[0]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V1,axis=0), np.ones(V1.shape[1]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=1), np.ones(V2.shape[0]))) 
assert np.all(np.isclose(np.linalg.norm(V2,axis=0), np.ones(V2.shape[1]))) 

assert np.all(np.isclose(S1,S2)) 
assert np.all(np.isclose(V1,V2)) 

は、最後のアサーションは失敗します。私はeigh関数によって返された固有ベクトルはsvd関数によって返されたものと同じであることを示すことによってnumpyのこの平等性を検証したいです。どうして？

Answer 1

問題をデバッグするには、小さな番号で試してみてください。

代わりに、私のランダムな場合にはサイズ(50,20)

であなたもはるかに大きい行列のA=np.random.randn(3,2)とのスタートは、私が

v1 = array([[-0.33872745, 0.94088454], 
    [-0.94088454, -0.33872745]]) 

とv2のためのことを見つける：

v2 = array([[ 0.33872745, -0.94088454], 
    [ 0.94088454, 0.33872745]]) 

彼らだけのために異なります記号であり、明らかに単位モジュールを持つように正規化されていても、ベクトルは記号のために異なっていてもよい。あなたは、元の大行列のため

assert np.all(np.isclose(V1,-1*V2)) 

トリックをしようとした場合

は今、それが失敗した...再び、これはOKです。何が起きるかは、いくつかのベクトルに-1が掛け合わされたものと、他のものが掛け合わされていないものがあります。

ベクトル間の等価性をチェックする正しい方法は次のとおりです。

assert allclose(abs((V1*V2).sum(0)),1.) 

と確かに、これはあなたがこの量を印刷することができますどのように動作するかの感覚を得るために：

(V1*V2).sum(0) 

確かにベクターに依存+1か-1次のいずれか

array([ 1., -1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 1., 
    1., -1., 1., 1., 1., -1., -1.]) 

EDIT：これは、ほとんどの場合、特にランダムな行列から開始する場合に発生します。一つ以上の固有値が1よりも大きな寸法の固有空間を持っている場合は、以下の彼のコメントに@Sven Marnachで指摘したように、このテストはおそらく、失敗することただし注意してください：

だけを乗じたベクターよりも他の違いがあるかもしれません-1。 固有値のいずれかが多次元の固有空間を持っている場合は、あなた は、その固有空間の任意の正規直交基底を得るかもしれない、と に、このような塩基はarbitraty ユニテリアン行列によって互いにあなたが追加することができます