はMATLAB内の2つの等しい浮動小数点数を減算すると、我々は2つの異なる方法で（A + B）を計算したいと0 ​​

Question

等しくない場合、それは

1. （A + B）*（ありますここでA + B）

2. + 2 AB + B

、a = 1.4とb = -2.7とします。

a = 1.4; 
b = -2.7; 

format long 

r = (a + b) * (a + b) 

r2 = a^2 + 2*a*b + b^2 

abs_diff = abs(r - r2) 

私は

r = 1.690000000000001 

r2 = 1.690000000000001 

abs_diff = 6.661338147750939e-16 

はここで何が起こっているの入手：我々はformat longと数式でこれら2つの数値を差し込む場合は、私たちは、私は次のスクリプトを実行した場合、つまり、どちらの場合1.690000000000001で入手しますか？ rまたはr2（Matlabは異なる浮動小数点演算を実行するため）異なる結果をプレビューできますが、その差の絶対値はプレビューできません。

また、私は

rel_err1 = abs(1.69 - r)/1.69 
rel_err2 = abs(1.69 - r2)/1.69 

をすれば、私は

rel_err1 = 3.941620205769786e-16 

rel_err2 = 7.883240411539573e-16 

これは私だけがrが実際にはないと思いますが入手rとr2の相対誤差は、つまり、異なっていることに気づきました同じr2。彼らが本当に違うならば、完全に見える方法はありますか？そうでない場合、何が起こっていますか？

また、両方の相対エラーがeps/2より小さくない場合、これはオーバーフローが発生したことを意味しますか？はいの場合、どこですか？

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注：これは特定のケースです。私は浮動小数点数と丸め誤差を扱っていることを理解しました。しかし、私は、この例を辿ることによって、より良いことを理解したいと思います。

Answer 1

Floating point arithmetic is not associative。

数学的にはこれらの2つは等しいものの、浮動小数点演算ではありません。

r = (a + b) * (a + b) 

r2 = a^2 + 2*a*b + b^2 

順序演算は浮動小数点演算で実行され、非常に関係します。だから、浮動小数点演算を行うときには、乗算/除算の順序を非常に慎重にする必要があります。

Answer 2

format longの出力を参考にして、2つの数値が等しいことを確認しないでください。

a = 1.4; 
b = -2.7 
r1 = (a + b) * (a + b); 
r2 = a^2 + 2*a*b + b^2; 
r3 = (a+b)^2; 

代わりに、使用して16進数表現を確認することができます。

>> num2hex([r1 r2 r3]) 
ans = 
3ffb0a3d70a3d70d 
3ffb0a3d70a3d710 
3ffb0a3d70a3d70d 

や機能のprintf家族：

>> fprintf('%bx\n', r1, r2, r3) 
3ffb0a3d70a3d70d 
3ffb0a3d70a3d710 
3ffb0a3d70a3d70d 

かさえ：

>> format hex 
>> disp([r1; r2; r3]) 
    3ffb0a3d70a3d70d 
    3ffb0a3d70a3d710 
    3ffb0a3d70a3d70d