これはどの行列式の計算方法ですか？

Question

これは、John Carmackが4x4行列の行列式を計算するために使用するアプローチです。私の調査から、私はlaplace拡張定理のように始まったが、それから私が読んだ論文と一致しない3x3行列式を計算することになると判断した。

// 2x2 sub-determinants 
    float det2_01_01 = mat[0][0] * mat[1][1] - mat[0][1] * mat[1][0]; 
    float det2_01_02 = mat[0][0] * mat[1][2] - mat[0][2] * mat[1][0]; 
    float det2_01_03 = mat[0][0] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][0]; 
    float det2_01_12 = mat[0][1] * mat[1][2] - mat[0][2] * mat[1][1]; 
    float det2_01_13 = mat[0][1] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][1]; 
    float det2_01_23 = mat[0][2] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][2]; 

    // 3x3 sub-determinants 
    float det3_201_012 = mat[2][0] * det2_01_12 - mat[2][1] * det2_01_02 + mat[2][2] * det2_01_01; 
    float det3_201_013 = mat[2][0] * det2_01_13 - mat[2][1] * det2_01_03 + mat[2][3] * det2_01_01; 
    float det3_201_023 = mat[2][0] * det2_01_23 - mat[2][2] * det2_01_03 + mat[2][3] * det2_01_02; 
    float det3_201_123 = mat[2][1] * det2_01_23 - mat[2][2] * det2_01_13 + mat[2][3] * det2_01_12; 

    return (- det3_201_123 * mat[3][0] + det3_201_023 * mat[3][1] - det3_201_013 * mat[3][2] + det3_201_012 * mat[3][3]); 

誰かがこのアプローチがどのように機能するのかを説明したり、同じアプローチを使用した良い書き方を教えてもらえますか？

注
この行列は重要な行です。

Answer 1

未成年者を使用する方法であるようです。数学的な側面は、（それが（一部を伴う-1）に説明すべき要素を基本的にあなたが計算するために小さく、容易なものに行列を削減し、それらの結果をまとめる

http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#Properties_characterizing_the_determinant

でWikipediaで見つけることができます私がリンクしているページ）。

Answer 2

彼はここで

det(M) = sum(M[0, i] * det(M.minor[0, i]) * (-1)^i) 

minor[0, i]があなたの元の行列と(-1)*iスタンドから0行目とi番目の列を交配することにより得られる行列で、擬似コードでは、あなたが計算することができ、標準的な式を使用しています-1のi番目の累乗です。

異なる行を使用する場合や、列の上にループを作成する場合は、（全体記号まで）数式が機能します。 detがどのように定義されているかについて考えるならば、それはかなり自明です。 - あなたが2x2行列の行列のための標準的な式を認識すべきである

det(M) = M[0, 0] * M[1, 1] * (+1) + M[0, 1] * M[1, 0] * (-1) 

または、むしろ、行1 0、

-det(M) = M[1, 0] * M[0, 1] * (+1) + M[1, 1] * M[0, 0] * (-1) 

により：2行列に対して、これはなる方法に注意してください。 3マトリックスがN = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]として構成するため

同様に、これは2x2決定の各々を展開後もちろん教科書式

a*e*i + b*f*g + c*d*h - c*e*g - a*f*h - b*d*i 

なる式

det(N) = a * det([[e, f], [h, i]]) - b * det([[d, f], [g, i]]) + c * det([[d, e], [g, h]]) 

につながります。

4行列Xを使用すると、det(X)を計算するには、4つの微係数の行列式を計算する必要があります。各微係数は3x3行列です。それらをさらに拡張して、いくつかの係数を持つ行列を決定することができます。 3x3行列の場合と同様に、自分で実際に試してください。