MATLAB Optimization Toolboxを使用した最小二乗円フィッティング

Question

this紙に従った最小二乗円フィッティングを実装しようとしています（私はそれを公開できません）。この論文では、特定の点（Xi）と円上の対応点（Xi '）との間のユークリッド距離（Xi "）として幾何学誤差を計算することによって円に適合できると述べている。 Xc（円の中心座標のベクトル）とR（半径）の3つのパラメータがあります。しかし

function [ circle ] = fit_circle(X) 
    % Kör paraméterstruktúra inicializálása 
    % R - kör sugara 
    % Xc - kör középpontja 
    circle.R = NaN; 
    circle.Xc = [ NaN; NaN ]; 

    % Kezdeti illesztés 
    % A köz középpontja legyen a súlypont 
    % A sugara legyen az átlagos négyzetes távolság a középponttól 
    circle.Xc = mean(X); 
    d = bsxfun(@minus, X, circle.Xc); 
    circle.R = mean(bsxfun(@hypot, d(:,1), d(:,2))); 
    circle.Xc = circle.Xc(1:2)+random('norm', 0, 1, size(circle.Xc)); 

    % Optimalizáció 
    options = optimset('Jacobian', 'on'); 
    out = lsqnonlin(@ort_error, [circle.Xc(1), circle.Xc(2), circle.R], [], [], options, X); 
end 
%% Cost function 
function [ error, J ] = ort_error(P, X) 
    %% Calculate error 
    R = P(3); 
    a = P(1); 
    b = P(2); 

    d = bsxfun(@minus, X, P(1:2));  % X - Xc 
    n = bsxfun(@hypot, d(:,1), d(:,2)); % || X - Xc || 
    res = d - R * bsxfun(@times,d,1./n); 
    error = zeros(2*size(X,1), 1); 
    error(1:2:2*size(X,1)) = res(:,1); 
    error(2:2:2*size(X,1)) = res(:,2); 
    %% Jacobian 
    xdR = d(:,1)./n; 
    ydR = d(:,2)./n; 
    xdx = bsxfun(@plus,-R./n+(d(:,1).^2*R)./n.^3,1); 
    ydy = bsxfun(@plus,-R./n+(d(:,2).^2*R)./n.^3,1); 
    xdy = (d(:,1).*d(:,2)*R)./n.^3; 
    ydx = xdy; 

    J = zeros(2*size(X,1), 3); 
    J(1:2:2*size(X,1),:) = [ xdR, xdx, xdy ]; 
    J(2:2:2*size(X,1),:) = [ ydR, ydx, ydy ]; 
end 

フィッティング：

は、私は、次のMATLABコード（それが画像に示されるように、私は円ではなく、球に合うようにしようとしていますので注意）を思い付いあまり良いことではありません：私が良いパラメータベクトルで始めると、アルゴリズムは最初のステップで終了します（したがって、どこに極小値があるかが分かります）。しかし、私が始点を（ノイズのない円で）摂動させると、非常に大きなエラー。私は私の実装で何かを見過ごしたと確信しています。

Answer 1

これまでのところ、MATLABでこれらのメソッドを実装しました。しかし、私はそれが手で実装された回帰を使用するので、私がlsqnonlinなどについて知る前に明らかにしました。これはおそらく遅いですが、コードと比較するのに役立ちます。

function [x, y, r, sq_error] = circFit (P) 
%# CIRCFIT fits a circle to a set of points using least sqaures 
%# P is a 2 x n matrix of points to be fitted 

per_error = 0.1/100; % i.e. 0.1% 

%# initial estimates 
X = mean(P, 2)'; 
r = sqrt(mean(sum((repmat(X', [1, length(P)]) - P).^2))); 

v_cen2points = zeros(size(P)); 
niter = 0; 

%# looping until convergence 
while niter < 1 || per_diff > per_error 

    %# vector from centre to each point 
    v_cen2points(1, :) = P(1, :) - X(1); 
    v_cen2points(2, :) = P(2, :) - X(2); 

    %# distacnes from centre to each point 
    centre2points = sqrt(sum(v_cen2points.^2)); 

    %# distances from edge of circle to each point 
    d = centre2points - r; 

    %# computing 3x3 jacobean matrix J, and solvign matrix eqn. 
    R = (v_cen2points ./ [centre2points; centre2points])'; 
    J = [ -ones(length(R), 1), -R ]; 
    D_rXY = -J\d'; 

    %# updating centre and radius 
    r_old = r; X_old = X; 
    r = r + D_rXY(1); 
    X = X + D_rXY(2:3)'; 

    %# calculating maximum percentage change in values 
    per_diff = max(abs([(r_old - r)/r, (X_old - X) ./ X ])) * 100; 

    %# prevent endless looping 
    niter = niter + 1; 
    if niter > 1000 
     error('Convergence not met in 1000 iterations!') 
    end 
end 

x = X(1); 
y = X(2); 
sq_error = sum(d.^2); 

これは、その後に実行されます。

X = [1 2 5 7 9 3]; 
Y = [7 6 8 7 5 7]; 
[x_centre, y_centre, r] = circFit([X; Y]) 

そしてプロット：与える

[X, Y] = cylinder(r, 100); 
scatter(X, Y, 60, '+r'); axis equal 
hold on 
plot(X(1, :) + x_centre, Y(1, :) + y_centre, '-b', 'LineWidth', 1); 

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